Комплексные числа.

1. Два комплексных числа a + ib и c + id равны тогда и только тогда, когда a = c и b = d;
2. Суммой чисел a + ib и c + id называется число:
   a + c + i(b + d);
3. произведением чисел a + ib и c + id называется число:
   ac - bd + i(ad + bc);

1. Коммутативность сложения.
   z₁ + z₂ = z₂ + z₁;
   
   
2. Ассоциативность сложения.
   (z₁ + z₂) + z₃= z₁ + (z₂ + z₃);
   
   
3. Для любых комплексных чисел z₁ и z₂ сушествует такое число z такое, что z₁ + z = z₂. Это число называется разностью комплексных чисел z₂ и z₁ и обозначается z₂ - z₁..
   
   
4. Коммутативность умножения.
   z₁*z₂ = z₂*z₁;
   
   
5. Ассоциативность умножения.
   (z₁*z₂)*z₃= z₁* (z₂*z₃);
   
   
6. Для любых комплексных чисел z₁ <> 0 и z₂ сушествует такое число z такое, что z₁*z = z₂. Это число называется частным комплексных чисел z₂ и z₁ и обозначается z₂/z₁. деление на комплексное число 0 + i0 называемое нулём невозможно.
   
   
7. Дистрибутивность
   (z₁ + z₂)*z₃ = z₁z₂ + z₂z₃;
   

Числа x + iy и x - iy, то есть числа отличающиеся только знаком мнимой части называют сопряжёнными комплексными числами, 
                _ 
и обозначается  z.

                                   
  Геометрия комплексных чисел.

В конце 18- начале 19 веков было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин Г.Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число z = a + ib точкой М(а, b) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой М, а вектором ОМ, идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании сложению и вычитанию комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами. Для определенности выбрано положительное направление мнимой оси вверх, а действительной – вправо Итак, можно изображать комплексные числа на координатной плоскости. Но что это дает? Соединим начало координат и точку, которая изображает комплексное число a + ib, направленным отрезком – вектором. Теперь можно наглядно представить операции вычитания и сложения комплексных чисел. Изобразим комплексные числа x и y в виде векторов. Затем построим из них параллелограмм. Вектор, который соединяет начало координат с четвертой вершиной параллелограмма, в точности соответствует комплексному числу, равному сумме x + y. Для того чтобы представить разность комплексных чисел нужно лишь заменить второй вектор противоположно направленным. Геометрические истолкования комплексных чисел позволили определить многие понятия, связанные с функциями комплексного переменного, расширило область их применения. Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости, в теоретической электротехнике.

Перейдём к понятию модуля комплексного числа:
Модулем комплексного числа называется длина вектора соответстующему этому числу.

Модуль(r) можно найти по формуле:

r = sqrt(a² + b²)

Аргументом комплексного числа Z ≠ 0 называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором Z, причем величина угла считается положительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательной, если производится по часовой стрелке.

Для числа Z = 0 аргумент не определяется, и только в этом случае число задается только своим модулем. Рассмотрим тригонометрическую форму записи комплексного числа. Действительная и мнимая части комплексного числа Z = A + iB выражаются через его модуль r и аргумент φ следующим образом:

A= rcosφ ; B= rsinφ .

Число Z можно записать так:

Z = r(cosφ + sinφ )
Эта запись называется тригонометрической формой комплексного числа.

СВОЙСТВА МОДУЛЯ И АРГУМЕНТА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА.

С помощью тригонометрической формы удобно находить произведение и частное комплексных чисел.


Пусть Z₁= r₁(cosφ₁ + isinφ₁), Z₂ = r₂(cosφ₂ + isinφ₂). Тогда:
Z₁Z₂ = r₁r₂[cosφ₁cosφ₂ – sinφ₁sinφ₂ + i( sinφ₁cosφ₂ + cosφ₁sin₂) = r₁r₂[cos(φ₁ + φ₂) + isin(φ₁ + φ₂)].
Таким образом, произведение комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно находить по формуле: Z₁Z₂ = r₁r₂[cos(φ₁ + φ₂) + isin(φ₁ + φ₂)]
Из полученной формулы следует, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если Z₁=Z₂ то получим: Z₁Z₂ = r₁[cos(2φ₁) + isin(2φ₁)]

Частное двух комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно находить по формуле: Z₁/Z₂ =[ cos(φ₁ – φ₂) + isin(φ₁ – φ₂)].

Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа

Для любого комплексного числа Z = r( cosφ + isinφ) ≠ 0 и любого натурального числа n справедлива формула:
Zⁿ =[ r(cosφ + isinφ)]ⁿ= rⁿ( cos(nφ)+ isin (nφ)),
которую называют формулой Муавра.

          _     _       
Тогда   n√Z = n√r ( cos(φ/n + 2πk/n)+ isin (φ/n + 2πk/n)) , k - целое число, n = 0,1,2,...,n - 2,n - 1

В данном случае рассматривается значения 0 ≤ k ≤ n - 1 так как при остальных значениях k полученное число z будет совпадать с одним из чисел полученных ранее. В самом деле при k = n получаем

         _ 
  Z n= n√r ( cos(φ/n)+ isin (φ/n)) 

То есть тоже самое значение что и при k = 0.
Таким образом, если z ≠ 0 то корень степени n из числа z имеет ровно n значений, причём их модуль одинаков, а аргументы различны отличаюциеся слагаемым кратным числу 2π/n. Отсюда следует что комплексные числа, являющиеся корнями степени n из комплексного числа z, соответствуют точкам комплексной плоскости, расположенным в вершинах правильного n - угольника вписанного в окружность радиуса равного модулю полученного комплексного числа и центром в точке w = 0.

Всё ясно? Тогда решите задачи. Иначе напишите чего непонятно email

1. Запишите комплексное число в алгебраической форме.
   z = (3 + 5i)/(3 - 5i) + (3 - 5i)/(3 + 5i).
2. Запишите в алгебраической и тригонометрической форме число.
   z = (1 + i)¹⁹⁹³
3. Решите уравнение:
   z⁴ - 4z³ + 2z² + z + 6 = 0
4. Найдите наибольшее значение площади треугольника с вершинами в точках z₁ = 1, z₂ = 2, z₃ = z, если z удовлетворяет уравнению.
   |z - 1| = 2|z - 2|
5. Решите уравнение:
   |2 + 5iz - z ²| + z² + 3 = 0

Ответы.



Вернуться назад.