Тригонометрия.



Определения.

Синусом угла a называется ордината точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол a (обозначается sin a)

Косинусом угла a называется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол a (обозначается cos a)

Тангенсом угла a называется отношение синуса угла а к его косинусу (обозначается tg a)

Котангенсом угла a называется отношение косинуса угла а к его синусу (обозначается сtg a)

Решение тригонометрических уравнений.



Все тригонометрические уравнения решаются сведением к одному из четырёх простейших:

sin x = a <=>
{x = (-1)narcsin(a) + πn , n - целое число, если |a| ≤1
{нет решений если |a| ≥ 1

cos x = a <=>
{x = + -arccos(a) + 2πn , n - целое число, если |a| ≤1
{нет решений если |a| ≥ 1

tg x = a <=> x = a = arctg(a) + πn, n - целое число

ctg x = a <=> x = a = arcctg(a) + πn, n - целое число


Для решения более сложных уравнений необходимо знать следующие формулы.

Основное тригонометрическое тождество



sin2 a + cos2 a = 1;

Дополнительные формулы.



tg(a)ctg(a)=1;
1+tg2(a)=1/cos2(a);
1+ctg2(a)=1/sin2(a);
sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b);
sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b);
cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b);
cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b);
tg(a + b) = (tg(a) + tg(b))/(1 - tg(a)tg(b));
tg(a - b) = (tg(a) - tg(b))/(1 - tg(a)tg(b));
ctg(a + b) = (ctg(a)ctg(b) - 1)/(ctg(a) + ctg(b));
ctg(a - b)=(ctg(a)ctg(b) + 1)/(ctg(b) - ctg(a));

sin(2a) = 2sin(a)cos(a);
cos(2a) = cos2(a) - sin2(b) = 1 - 2sin2(a);
tg(2a) = (2tg(a))/(1 - tg2(a));
ctg(2a) = (ctg2(a) - 1)/2ctg(a);
sin(3a) = 3sin(a) - 4sin3(a);
tg(3a) = (3tg(a) - tg3(a))/(1 - 3tg2(a));
ctg(3a) = (3ctg(a) - ctg3(a))/(1 - 3ctg2(a));

sin2(a/2) = 1 - cos(a)/2;
cos2(a/2) = 1 + cos(a)/2;
tg2(a/2) = (1 - cos(a))/(1 + cos(a));
ctg2(a/2) = (1+cos(a))/(1 - cos(a));
tg(a/2) = sin(a)/(1 + cos(a)) = (1 - cos(a))/sin(a);
ctg(a/2) = sin(a)/(1 - cos(a)) = (1 + cos(a))/sin(a);

sin(a) + sin(b) = 2sin((a + b)/2)cos((a - b)/2);
sin(a) - sin(b) = 2sin((a - b)/2)cos((a + b)/2);
cos(a) + cos(b) = 2cos((a + b)/2)cos((a - b)/2);
cos(a) - cos(b) = -2sin((a + b)/2)sin((a - b)/2) = 2sin((a + b)/2)sin((b - a)/2);
cos(a) + sin(b) = sqrt(2)cos(45 + a);
cos(a) - sin(b)=sqrt(2)sin(45 - a);
tg(a) + tg(b) = sin(a + b)/cos(a)cos(b);
tg(a) - tg(b) = sin(a - b)/cos(a)cos(b);
ctg(a) + ctg(b) = sin(a + b)/sin(a)sin(b);
ctg(a) - ctg(b) = sin(b - a)/sin(a)sin(b);
tg(a) + ctg(b) = cos(a - b)/cos(a)sin(b);
tg(a) - ctg(b) = -cos(a + b)/cos(a)sin(b);
tg(a) + ctg(a) = 2/sin(2a);
tg(a) - ctg(a) = -2ctg(2a);

sin(a)sin(b) = 1/2(cos(a - b) - cos(a + b));
cos(a)cos(b) = 1/2(cos(a + b) + cos(a - b));
sin(a)cos(b) = 1/2(sin(a + b) + sin(a - b));

sin(a) = (2tg(a/2))/(1 + tg2(a/2));
cos(a) = (1 - tg2(a/2))/(1 + tg^2(a/2));
tg(a) = 2tg(a/2)/(1 - tg2(a/2));
ctg(a) = (1 - tg2(a/2))/2tg(a/2);

Обратные тригонометрические функции.

Арксинусом числа х называется такое число у, что -π/2 ≤ у ≤ π/2 и sin(y) = x(обозначается arcsin x);

Арккосинусом числа х называется такое число у, что 0 ≤ у ≤ π и cos(y) = x(обозначается arccos x);

Артангенсом числа х называется такое число у, что -π/2 ≤ у ≤ π/2 и tg(y) = x(обозначается arctg x);

Арккотангенсом числа х называется такое число у, что 0 ≤ у ≤ π и cos(y) = x(обозначается arcctg x);

Дополнительные формулы


arcsin x + arccos x = π/2
arctg x + arcctg x = π/2 sin(arccos x) = cos(arcsin x) = sqrt(1 - x2); -1 ≤ x ≤ 1
sin(arctg x) = x/(sqrt(1 + x2));
tg(arcsin x) = x/(sqrt(1 - x2)); -1 ≤ x ≤ 1
tg(arccos x) = sqrt(1 - x2)/x; -1 ≤ x ≤ 1 x≠ 0
tg(arcctg x) = ctg(arctg x) = 1/x ; x ≠ 0

Попробуйте для проверки своих знаний решить следующие уравнения. Иначе напишите чего непонятно email



  1. 2sin x = 3 ctg x
  2. 2cos(2x - π/3) + 1 = cos(x + π/3)
  3. |sqrt(3)cos(3x)| = sqrt(2)cos(2x)
  4. sin2 x + sin x + sqrt(sin x) = 1 - cos x
  5. {cos 2x - 2tg4y + 4 = 0
    {sin x + 1/cos2 y - 3 = 0




Ответы



Вернуться назад


Hosted by uCoz