Сначала напомню, что такое логарифм. Логарифмом положительного числа b по основанию а, где, а > 0 a ≠ 1, называется показатель степени, в которую надо возвести число, а чтобы получить число b. Математически это записывается как a^log_a^b = b и называется основным логарифмическим тождеством. Логарифм по основанию 10 записывают просто lg, а натуральный(по основанию е) - ln Само число е определено вторым замечательным пределом и играет важную роль в алгебре, прежде всего в математическом анализе.


е ≈ 2.71828.Также я напомню некоторые свойства степеней и логарифмов. Помните что:
aⁿ * a^m = a^{n + m};
aⁿ / a^m = a^{n - m};
(ab)ⁿ = aⁿ * bⁿ;
(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ;
(aⁿ)^m = a^mn;
(log_xy)/(log_xz) = log_zy;
log_xy + log_xz = log_xyz;
log_xy - log_xz = log_xy/z;
log_xyⁿ = n*log_xy; если n нечётно или число нецелое.
log_xyⁿ = n*log_x|y| если n чётно.

Показательные и логарифмические уравнения.

При решении показательных и логарифмических уравнений особенно часто используются два преобразования: логарифмирование и потенцирование.
Логарифмированием по основанию с (с > 0, c ≠ 1) называют переход от уравнения
f(x) = g(x) (1) к уравнению
log_cf(x) = log_cg(x) (2)
Важно осознавать, что логарифмирование в общем случае является преобразованием неравносильным, причём неравносильность здесь особенно опасна: она легко может привести к потере корней уравнения. Например, если f(x) = x², g(x) = x, то переход от уравнения x² = x к уравнению log₂ x² = log₂ x приводит к потере корня x = 0.

Потенцированием по основанию с (с > 0, c ≠ 0) называют переход от уравнения (2) к уравнению (1). Это преобразование также может быть неравносильным, правда, если логарифмирование может привести к потере корней, то потенцирование может привести к получению посторонних корней. Как и при логарифмировании при потенцировании равносильность будет соблюдаться, если функции f(x) и g(x) положительны. В противном случае необходима проверка.

Уравнение 

ax = b, a > 0, a ≠ 1;

называют простейшим показательным уравнением и из свойств показательной функции следует что

при b ≤ 0 решений нет

при b > 0 уравнение имеет единственный корень x = logab .

Другие показательные уравнения решаются сведением к простейшему. Например, уравнения вида а^2f(x) + p(ab)^f(x) + qb^2f(x) = 0; a,b > 0 a,b,p,q ∈ R решаются делением обеих частей на b^2f(x)(b^2f(x) ≠ 0 в любом случае) с решением уравнения (а/b)^2f(x) + p(a/b)^f(x) + q = 0 как квадратного относительно (a/b)^f(x) и приведением его к виду (a/b)^f(x) = с; с ∈ R c >0. Если же уравнение содержит нагромождения логарифмов, степеней, тригонометрий, - то, пожалуй, ваша надежда только на возрастание функции(один корень, который обычно легко подобрать) либо на ОДЗ уравнения.

Иногда уравнения содержат неизвестную в основании и показателе степени одновременно. Принято считать что выражение (f(x))^g(x) не имеет смысла, если f(x) < 0, и равно 0, если f(x) = 0, g(x) > 0. Если f(x) > 0, то (f(x))^g(x) определим формулой

(f(x))^g(x) = a^{g(x) log} _a ^f(x) , где в правой части стоят уже известные показательная и логарифмическая функции.

Уравнение  logax = b  a > 0, a ≠ 1, b - действительное число

называют простейшим логарифмическим уравнением. Из свойств логарифмической функции следует, 

что при любом b оно имеет единственное решение. 

x = ab

Довольно часто встречаются уравнения вида log _g(x)f(x) = c; c = const; Решением будет система:

{ f(x) = g(x)^c;
{ f(x) > 0;
{ g(x) > 0;
{ g(x) ≠ 1;

Показательные и логарифмические неравенства.

Для решения таких неравенств часто необходимо использовать методы решения алгебраических, тригонометрических неравенств, показательных и логарифмических уравнений, а также помнить о свойствах показательной и логарифмической функции, прежде всего их монотонность. Часто показательные неравенства можно привести к общему основанию, то есть к виду:
а^f(x) = a^g(x), a > 0 a ≠ 1;
Тогда ввиду монотонности логарифмической функции неравенство равносильно следующему неравенству:
(a - 1)(f(x) - g(x)) > 0;
Или если неравенство нестрогое, то есть вида
а^f(x) ≥ a^g(x), a > 0 a ≠ 1;
то оно равносильно неравенству
(a - 1)(f(x) - g(x)) ≥ 0
. Что касается логарифмических неравенств то их чаще всего надо приводить к виду:
log_af(x) > log_ag(x) , a > 0 a ≠ 1;
которые опять же из-за монотонности логарифмической функции делают равносильной данному неравенству следующую систему.

{ (a - 1)(f(x) - g(x)) > 0;
{ [ g(x) > 0 если, а > 1
{ [ f(x) > 0 если а < 1
В нестрогом неравенстве знак > меняется на ≥ только в первом уравнении системы.

Неравенства вида log_g(x)f(x) > 0 равносильны системе:

[ { f(x) > 1;
[ { g(x) > 1;
[ [ { 0 < f(x) < 1;
[ { 0 < g(x) < 1;

Соответственно Неравенства вида log_g(x)f(x) < 0 равносильны системе:

[ { f(x) > 1;
[ { 0 < g(x) < 1;
[ [ { 0 < f(x) < 1;
[ { g(x) > 1;

эти системы легко получаются, если вспомнить, что log_g(x)f(x) = lg f(x)/lg g(x).

Также неравенства вида log_g(x)f(x) >(<) 0 равносильны системе: { (g(x) - 1)(f(x) - 1) >(
<) 0;>{ f(x) > 0;
{ g(x) > 0;
{ g(x) ≠ 1;

Лично я предпочитаю второй способ, так как если сначала определить ОДЗ(вторая - четвёртая строчка) то он заметно экономичнее.

Попробуйте для проверки своих знаний решить следующие уравнения. Иначе напишите чего непонятно email

 

1. 2^x = 5
2. lg(2 - 5x) = 1
3. 2Log₂₅(x - 2)² + Log_sqrt(5)(2x + 9)/(18 - x) = 0
4. Log₆(cos x + cos 3x) = 2 log₃₆(sin 2x) - 1
5. |Log_3x(x² - 6x + 8) - 1| = 1 - Log_3x(x² - 6x + 8)

Ответы.



Вернуться назад.