Первообразная

(Ударение на 4-ый слог) Функция F(x) Называется первообразной(Ударение на 4-ый слог)(Ударение на 4-ый слог) функции f(x) на некотором промежутке, если для всех х из этого промежутка.
F'(x) = f(x)
То есть например функция x³ является первообразной функции 3х².
Вспомнив, что (С)' = 0 получим, что если F(x) - первообразная функции f(x) то F(x) + С также является первообразной функции f(x).
Отсюда следует, что первообразная функции определяется неоднозначно с точностью до произвольной постоянной.

Приведём первообразные некоторых функций:

Функция
x^p
p ≠ -1

(kx + b)^p
k ≠ 0. p ≠ -1

1/(kx + b)
k ≠ 0

e^{kx + b}
k ≠ 0

sin (kx + b)
k ≠ 0

cos (kx + b)
k ≠ 0

tg (kx + b)
k ≠ 0

ctg (kx + b)
k ≠ 0

Первообразная

x^{p + 1}/(p + 1) + C

(kx + b)^{p + 1}/(k(p + 1)) + C

ln |kx + b|/k + C

e^{kx + b}/k + C

- k^-1cos (kx + b) + C

k^-1sin (kx + b) + C

-ln|cos kx + b|/k + C

-ln|sin kx + b|/k + C

Операция нахождения первообразной называется интегрированием

Неопределённый интеграл

сначала расскажу об дифференциале Пусть функция f(x) дифференцируема в точке x_o Тогда выражение Δxf'(x_o) называется значением дифференциала функции в точке x_o, f'(x)Δx называется дифференциалом функции и обозначается df.
Совокупность всех первообразных функции называется неопределённым интегралом этой функции. Его обозначение:

∫ f(x)dx = F(x) + С , где F(x) - первообразная функции f(x) C - действительное число. причём.
С это постоянная интегрирования
f(x) это Подынтегральная функция
f(x)dx это Подынтегральное выражение

К сожалению, интегрировать функции подчас заметно труднее, чем дифференцировать. Это связано с тем, что нет, скажем общей формулы интеграла произведения/частного функций. Впрочем, что-то всё-таки осталось. Например, также как и при дифференцировании, постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть. ∫ сf(x)dx = с∫ f(x)dx , где с = const.

Кроме того
∫ (f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx+ ∫g(x)dx(Кстати, очень частая ошибка учеников(и меня в том числе) - забывание dx и произвольной постоянной при написании интеграла. Не забывайте о них!)

Пытаясь искать хоть какие-нибудь формулы вычисления интеграла математики набрели на очень интересные формулы:

Метод замены переменной
∫ F(φ(t))φ'(t)dt = F(φ(t)) + C

Интегрирование по частям:
Пусть u(x) = u, a v(x) = v, тогда:

∫ v du = u*v - ∫u dv;

Определённый интеграл. Площадь криволинейной трапеции.

Рассмотрим фигуру, ограниченную графиком функции y = f(x) на отрезке [a;b], принимающей на этом отрезке только неотрицательные значения, двумя прямыми х = а и х = b и осью Ox. Такая фигура называется криволинейной трапецией.

Теорема Ньютона - Лейбница.

Пусть f - функция непрерывная на [a;b] имеет на нём конечное число экстремумов и принимает неотрицательные значения. S(x) - площадь криволинейной трапеции ограниченной y = f(x) на отрезке [a;b], х = а и х = b и осью Ox, тогда S(x) - первообразная f(x) на [a;b], то есть S'(x) = f(x).

Разность значений первообразной для функции f(x) в точке b и a называется определённым интегралом этой функции от а до b, где a и b - соответственно нижний и верхний предел интегрирования.

b
∫ f(x)dx = F(b) - F(a)
a

Эта формула называется формулой Ньютона - Лейбница, причём полученное значение интеграла равно площади криволинейной трапеции ограниченной графиками функций y = f(x) х = а и х = b и осью Ox при условии, что все значения принимаемые графиком функции y = f(x) на отрезке [a;b] неотрицательны.

Если нужно найти площадь фигуры ограниченно прямыми х = а, х = b, и графиками функций y = f(x) и y = g(x) непрерывных на [a;b] и причём на [a;b] f(x) лежит не ниже чем g(x), то эта площадь равна:

b
∫ (f(x) - g(x))dx 
a

Попробуйте для проверки своих знаний решить следующие задачи. Иначе напишите чего непонятно email

Найдите первообразные функций:
f(x) = x⁵; f(x) = x^-1 + x;
Найти интеграл:
∫ dx/(x² + 4x + 5)
∫ cos³xdx;
Найти интеграл методом интегрирования по частям:
∫ x³sin(x)dx; ∫ x²cos(x)dx
Найти площадь криволинейной трапеции ограниченной прямыми х = 3; х = 6 и графиками функций y = x³ и y = x³

Ответы

Вернуться назад