Предел.



Интервал (а - ε ; а + ε ), где ε > 0, называется ε - окрестностью точки а.

Число а называется пределом последовательности xn, если в любой ε - окрестности точки а лежат все члены последовательности xn, за исключением может быть конечного их числа.

То, что последовательность xn имеет предел а, записывается так 

lim xn = a (или  xn→ а при n → ∞)
n → ∞




"Теорема о двух милиционерах"


Если 

lim xn = lim yn = a  
n→∞              n→∞
и при всех n выполняется равенства xn ≤ zn ≤ yn, то и
lim zn = a 
n→∞

Предел функции

 

 
Число b называется  пределом функции f(x) в точке а, если для любой последовательности xn такой, что  xn ≠ а и 
lim xn = a выполняется равенство lim f(xn) = b
n→∞                                                              n→∞

 

 
 
 
 
Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если для любой последовательности xn такой, что 
lim xn  = a, выполняется равенство lim f(xn) = f(a).             
x →a                                x → a



Функция f(x) называется непрерывной на интервале(конечном или бесконечном), если она непрерывна каждой в точке этого интервала.

Помните, если предел есть то он единственный! Например, функция y = sign x(y = -1,если x < 0 y = 0,если x = 0, y = 1,если x > 0) не имеет предела, так как при x → 0 + 0 предел равен 1 а при x → 0 - 0 предел равен -1 

 

Пусть

 
lim f(x) = a , lim g(yn) = b
x→∞                           x→∞

Тогда

 
lim f(x) + lim g(yn) = a + b
x→∞                   x→∞
 
lim f(x) - lim g(yn) = a - b
x→∞                   x→∞
 
lim f(x) * lim g(yn) = a + b
x→∞                   x→∞
 
lim f(x) / lim g(yn) = a / b
x→∞                   x→∞
(последнее выполняется при b ≠ 0 )
 

 

Асимптоты

 

 

Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика y = f(x), если

lim f(x) = ∞ или lim f(x) = ∞

x→a+ 0                 x→a - 0

 

Прямая x = b называется горизонтальной асимптотой графика y = f(x), если

lim f(x) = b или lim f(x) = b

x→+∞                                      x→ -∞

 

Прямая x = kx + b называется наклонной асимптотой графика y = f(x), если

lim (f(x) - kx - b) = 0 или lim (f(x) - kx - b) = 0

x→+∞                                                                    x→ -∞

 

Наклонная асимптота находится так:

k = lim (f(x)/x)

     x→+∞   

 

b = lim (f(x) - kx);

     x→+∞  



Напоследок я напишу формулу называемую первым замечательным пределом.



lim (sin x)/x = 1
x → 0
Эту формулу нередко применяют в физике заменяя sin x на x или tg x при малом угле x


Производная


Пусть функция f определена в некоторой окрестности xo, а х - произвольная точка этой окрестности. Если отношение (f(x) - f(xo))/(x - xo) имеет предел в точке xo, то этот предел называется производной функции f(x) в точке xo и обозначается f'(xo)

 
f'(xo) = lim (f(x) - f(xo)/(x - xo) =  lim (f(xo + Δx) - f(xo)/(Δx))
         x→ xo                         Δx→ 0 
где Δx = x - xo     



Функция, имеющая производную в точке xo, называется Дифференцируемой в точке xo. Элементарные функции дифференцируемы в каждой точке в окрестности, которой эти функции определены.

Я приведу без доказательств(доказываются по определению) производные некоторых элементарных функций.

x' = 1
x2 = 2x и вообще
(xk)' = kxk - 1
c' = 0 (c - константа)
(kx + b)k' = k(kx + b)k - 1(kx + b)'
sin' x = cos x
cos' x = - sin x
tg' x = 1/(cos2)
ctg' x = -1/(sin2)
arcsin x = 1/(sqrt(1 - x2))
arccos x = -1/(sqrt(1 - x2))
arctg x = 1/(1 + x2)
arcctg x = -1/(1 + x2)
f' (x) = f(x)(ln f(x))
А вот доказательство этих в школе вообще не проходят

(ekx + b)' = kex
(akx + b)' = kxln a
ln' x = 1/x
log'a x = 1/(x ln a)
Также полезно знать следующие формулы:

(f(g(x)))' = f' (g(x))g'(x); - (Главное не ошибитесь, где у вас f ,а где g)

(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x);

(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x);

(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/(g2(x))

Так как c' = 0 тогда
(сf(x))' = c'f(x) + cf'(x) = cf'(x)

Функция, дифференцируемая в точке, должна быть непрерывной в этой точке Обратное выполняется не всегда. Например, функция f(x) = |x| непрерывна в точке xo = 0 ,но не является дифференцируемой в ней. Геометрически это означает характерный излом у графика y = |x|. Графики дифференцируемых функций таких изломов не имеют - они имеют касательные.

Касательной к графику дифференцируемой функции f(x) в точке А(х0;f(xo)) называется прямая, проходящая через точку А, угловой коэффициент которой равен f'(xo). Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке А имеет вид:

y = f(xo) + f'(x - xo)

Применение производной к построению графиков



1.Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (а,b), причем f'(x) > 0. тогда f(x) возрастает на (а;b).

2.Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (а,b), причем f'(x) < 0. тогда f(x) убывает на (а;b)

3.(Необходимое условие экстремума). Пусть xo - точка локального экстремума функции f(x). Тогда f'(x) равна 0 или не существует вовсе.

4. Пусть f(x) непрерывна в точке xo, причём при некотором ε > 0 на интервале (xo - ε ; xo) существует положительная f'(x), а на интервале (xo ; xo + ε) - отрицательная f'(x). Тогда xo - точка локального максимума функции f(x) Значение f(xo) при этом называется максимумом f(x).

5. Пусть f(x) непрерывна в точке xo, причём при некотором ε > 0 на интервале (xo - ε ; xo) существует отрицательная f'(x), а на интервале (xo ; xo + ε) - положительная f'(x). Тогда xo - точка локального минимума функции f(x).Значение f(xo) при этом называется минимумом f(x)

Не путайте минимум/максимум с наименьшим/наибольшим значением функции. Если функция непрерывна на области её определения и имеет одну точку экстремума(минимума/максимума) то минимум/максимум функции будет совпадать с наименьшим/наибольшим значением функции. А может быть так, что минимум функции больше её максимума!

Вторая производная.



Второй производной называется производная от производной и обозначается f ''(x)

В школе при помощи второй производной определяют направления выпуклостей графиков функций.

Постройте графики функций y = x2 и y = x1/2. Видно, что они похожи, но одна из них направлена выпуклостью вниз, а другая - вверх. Теперь постройте график функции y = x3. Видно, что его отрицательная часть направлена выпуклостью вверх, а положительная - вниз. Значит где то произошёл перегиб. Посмотрим на график ещё раз. Да произошел перегиб, причём не где то, а начале координат, то есть в точке (0;0). Как же определить выпуклость графика? Оказывается для этого и нужна вторая производная. Причём, если вторая производная положительна на некотором интервале то график кривой направлен выпуклостью вниз, а если отрицательна - то вверх. Учебник предлагает запомнить это, как правило дождя(как то так, не помню точно). Лично я всегда это знал, как правило "смайлика"))). Если вторая производная положительна на некотором интервале(знак +), то график кривой направлен выпуклостью вниз. Это сокращённо изображают знаком объединения U и при достаточной фантазии можно понять символ как улыбку(видимо денег дали...)))) Если вторая производная отрицательна на некотором интервале(знак -), то график кривой направлен выпуклостью вверх(соответственно знак -).Это сокращённо изображают знаком ∩ и видим кого-то огорчённого(за что бедного?).
Точка, в которой график функции меняет направление выпуклости называется точкой перегиба.

Построение графиков функций.



Напоследок я покажу, как можно построить график почти любой функции.y = f(x). Сначала нужно составить план построения. Итак, необходимо исследовать функцию так:

  1. Область определения.
  2. Четность, нечетность, периодичность.
  3. Корни многочлена f(x).
  4. Непрерывность, точки разрыва, пределы(односторонние, на бесконечности).
  5. Асимптоты.
  6. Дифференцируемость. Найти производную и исследовать график f(x) на монотонность и экстремумы.
  7. Вторая производная. Исследование на выпуклости и точки перегиба.
  8. Найти дополнительные точки.

А теперь я покажу, как он работает на примере нескольких функций(В рамках написано то, что надо писать в тетрадь).

А).y = x2; Лично я сразу переобозначаю функцию на f(x). Tо есть пишем:

y = x2; y = f(x);



1).Очевидно, областью её определения будет множество действительных чисел поэтому.

D(y) = R;



2).Видим, что область определения функции симметрична относительно x = 0 причём функция чётна, периодичности не наблюдается, что и пишем:

f(-x) = (-x)2 = x2 = f(x) функция чётна, график симметричен относительно оси Оу, исследуем функцию f(x) на промежутке [0;+∞).



3).Легко видеть, что число 0 и только оно является корнем уравнения x2 = 0 так как x2 = (x - 0)(x - 0). А вот что мы пишем.

{f(x) = 0;     x = 0;
{x ≥ 0;
(0:0) - Координата точки пересечения f(x) с неотрицательной осью абсцисс.



4).кроме того видно, что f(x) Непрерывна На R.

f(x) Непрерывна на [0;+∞)



Теперь пределы. Предел на бесконечности надо смотреть всегда, даже если это ничего не даст. поэтому: 

lim f(x) = lim x2 = +∞
x→+∞                 x→+∞



5).Так как f(x) определена на R то вертикальных асимптот нет, горизонтальных тоже не должно быть из предела на бесконечности. Наклонная асимптота... не ну если вам хочется её найти то попробуйте. Только я сразу скажу, что не пытайтесь искать наклонные асимптоты, если разность максимальной степени аргумента числителя и знаменателя данной функции не равна 1, что, кстати, едва ли не очевидно. Пункт с асимптотами опускаем...

6). Нет никаких проблем с дифференцированием данной функции поэтому:

f(x) дифференцируема на [0;+∞);
f'(x) = 2x;
f'(x) = 0; x = 0;

 
                               
              ___________.____________→   
   f'(x)            -    0    +        x
   f(x)             ↗                  ↘  
 
 
f'(x) > 0 на (0;+∞).
f'(x) < 0 на (-∞ ;0).
f'(x) = 0 лишь при х = 0.
 
f(x) возрастает на [0;+∞)
f(x) убывает на (-∞0]
 
 
При переходе через точку x = 0 f'(x)
меняет знак с "-" на "+" поэтому 
x = 0 - точка минимума функции f(x)
f(0) = 0 - минимум f(x)
 


7). Теперь вторая производная. Здесь всё просто:

f'(x) дифференцируема на [0;+∞);
f''(x) = 2;

 
 
                               
              _______________________→   
   f''(x)               +             x
   f(x)                 ∪
На промежутке [0;+∞) f(x) обращена выпуклостью вниз.



8).Обычно график функции строят по пяти точкам(или пока не станет понятным его поведение) так как функция чётна нам хватит и двух больше нуля(точка (0;0) у нас уже есть).Итак:

f(0) = 0; f(1) = 1; f(2) = 4


И со спокойной совестью строим график. Вот он. график

Б).y = (x3 + 3x2 - 4)/(x2);

y = (x3 + 3x2 - 4)/(x2); y = f(x);



1).Областью определения f(x) будет множество (-∞0)U(0;+∞) поэтому.

D(y) = (-∞0)U(0;+∞);



2).Видим, что при замене х на -х мы не получим ни f(x), ни f(-x), периодичности не наблюдается, Поэтому этот пункт опускаем:



3).Легко видеть, что число 1 является корнем уравнения (x3 + 3x2 - 4)/(x2) = 0. Остальные найдем делением f(x) на x - 1 по схеме Горнера(в уме). Итак, пишем.

f(x) = 0;     
(x3 + 3x2 - 4)/(x2) = 0; 
 
{ x3 + 3x2 - 4 = 0;
{ x ≠ 0;
 
{ (x - 1)(x2 + 4x + 4) = 0;
{ x ≠ 0;
 
{ (x - 1)(x + 2)2 = 0; x = 1; x = -2
{ x ≠ 0;
 
 
(-2:0) (1:0)- Координаты точки пересечения f(x) с осью абсцисс.



4).Видно, что f(x) Непрерывна На (-∞0)U(0;+∞).

f(x) Непрерывна на (-∞0)U(0;+∞)



Теперь пределы. Надо посмотреть пределы на бесконечности 

lim f(x) = lim (x3 + 3x2 - 4)/(x2) = +∞
x→+∞                 x→+∞
lim f(x) = lim (x3 + 3x2 - 4)/(x2) = -∞
x→-∞                 x→-∞



5).Посмотрим пределы слева и справа f(x) при x → 0

lim f(x) = lim (x3 + 3x2 - 4)/(x2) = -∞
x→ 0+0                 x→ 0+0
lim f(x) = lim (x3 + 3x2 - 4)/(x2) = -∞
x→ 0-0                 x→ 0-0
y = -4 - уравнение вертикальной асимптоты графика функции y = f(x);



Видим что максимальная степень числителя f(x) больше, чем степень знаменателя на единицу, что указывает что f(x) вероятно будет иметь наклонную асимптоту. Проверяем: 

lim f(x) = lim ((x3 + 3x2 - 4)/(x2))/x) = 1 = k;
x→+∞                 x→+∞
 
lim f(x) = lim ((x3 + 3x2 - 4)/(x2) - kx) = 3;
x→+∞                 x→+∞
 
 
y = x + 3; - уравнение наклонной асимптоты графика функции y = f(x);



6). Смело дифференцируем функцию:

f(x) дифференцируема на (-∞0)∪(0;+∞);
f(x) = (x3 + 3x2 - 4)/(x2)

f'(x) = ((3x2 + 6x)x2 - 2x(x3 + 3x2 - 4))/(x4);

f'(x) = (3x4 + 6x3 - 2x4 - 6x3 + 8x)/(x4);

f'(x) = (x4 + 8x)/(x4);

f'(x) = (x3 + 8)/(x3);

f'(x) = 0; x = -2

 
                               
              ________.___(.)____________→   
                     -2    0              x
  f'(x)           +     -       + 
  f(x)            ↘         ↗              ↘  
 
 
f'(x) > 0 на (-∞-2) и на (0;+∞);
f'(x) < 0 на (-2;0);
f'(x) = 0 лишь при х = -2;
 
f(x) возрастает на (-∞-2] и на (0;+∞);
f(x) убывает на [-2;0);
 
 
При переходе через точку x = -2 f'(x)
меняет знак с "+" на "-" поэтому 
x = -2 - точка максимума функции f(x)
f(-2) = 0 - максимум f(x)
 


7). Вторая производная. Осталось немного...

f'(x) дифференцируема на (-∞0)∪(0;+∞);
f'(x) = (x3 + 8)/(x3);

f''(x) = ((3x5 - 3x2(x3 + 8))/(x6);

f''(x) = (-24x2))/(x6);

f''(x) = -24/(x4) 

 
 
                               
              __________(.)_____________→ 
                         0               x
   f''(x)               -             
   f(x)                 ∩
На промежутке (-∞0)∪(0;+∞) f(x) обращена выпуклостью вверх.



8).Дополнительные точки. Итак:

f(-4) = -1.25; f(-2) = 0; f(-1) = -2; f(0.5) = -12.5 f(1) = 0; f(2) = 4;


И со спокойной совестью строим график. Вот он. график



В). y = sin(x).

y = sin(x); y = f(x);



1).Областью определения f(x) будет множество R поэтому:

D(f) = R;



2).Видим, что при замене х на -х мы получим f(-x), период - 2π.Пишем:

Функция f(x) = sin(x) периодична, главный период равен 2π, исследуем функцию f(x) на промежутке [-π ; π], также: f(-x) = sin(-x) = -sin(x)= -f(x) функция нечётна, график симметричен относительно оси начала координат, исследуем функцию f(x) на промежутке [0;π].





Из тригонометрии знаем, что корнями уравнения sin(x) = 0 являются все числа вида πn, n - целое число, а на выбранном участке [0; π]: 

 
{ f(x) = 0;     
{ 0 ≤ x ≤ π
 
 
{ sin(x) = 0; 
{ 0 ≤ x ≤ π
 
{ x = πn, n ∈ Z;            x = 0, x = π
{ 0 ≤ x ≤ π
 
 
 
(0:0) (π:0)- Координаты точки пересечения 
f(x) с осью абсцисс на промежутке [0;π]



4).f(x) Непрерывна На [0;π].

f(x) Непрерывна на [0;π]



6). Смело дифференцируем функцию:

f(x) дифференцируема на [0;π];
f(x) = sin(x);

f'(x) = cos(x);

f'(x) = 0;

x = π/2;

 
                               
              _____.___.___._________→   
                   0   π/2  π         x
  f'(x)              +   -
  f(x)              ↗        ↘  
 
 
f'(x) > 0 на [0;π/2);
f'(x) < 0 на (π/2;π];
f'(x) = 0 лишь при х = π/2;
 
f(x) возрастает на [0;π/2];
f(x) убывает на [π/2;π];
 
 
При переходе через точку x = π/2 f'(x)
меняет знак с "+" на "-" поэтому 
x = π/2 - точка максимума функции f(x)
f(π/2) = 1 - максимум f(x)
 


7). Вторая производная. Осталось немного...

f'(x) дифференцируема на [0;π];
f'(x) = cos(x);

f''(x) = -sin(x);

f''(x) = 0; x = 0 x = π 

 
 
                               
              __________._____________→ 
                           0            x
   f''(x)                  -             
   f(x)                    ∩
На промежутке [0;π] f(x) обращена выпуклостью вверх.



8).Дополнительные точки. Итак:

f(0) = 0; f(π/6) = 0.5; f(π/4) = sqrt(2)/2; f(π/2) = 1 f(2π/3) = sqrt(3)/2; f(π) = 0;


И со спокойной совестью строим график. Вот он. график


Всё ясно? Тогда решите задачи. Иначе напишите чего непонятно email

1.      Найти производные:
y = (5x3 + 10x + 21);
y = (1/x + x2)2

2.      Найти наклонную асимптоту графика функции y = (6x3 + 13x2+ 10x + 85)/(2x2 + 7x + 15)

3.      Найти производную:
f(x) = x6sin(1/(x + 1)) + tg((2x + 1)/x3)/(x2)

4.      Построить графики функций:
y = (4x - x2)/(x + 3)2
y = x4/(x3 - 1)





Ответы



Вернуться назад