Алгебраические уравнения и неравенства.



Да-да самая привычная нам алгебра. Иксы, игреки в бог знает какой степени каждый и надо найти решение. Тема настолько частая, что я напомню только самое основное.

Квадратный трёхчлен:


ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0
Дискриминант квадратного уравнения D
D = b2 - 4ac
Если D < 0 , то решений нет.
Если D = 0 , то x = -b/2a
Если D > 0 , то x1 = (-b + sqrt(D))/2a, x2 = (-b - sqrt(D))/2a

Формулы сокращённого умножения



a2 - b2 = (a + b)(a - b)
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
(a + b)2 = (a2 + 2ab + b2)
(a - b)2 = (a2 - 2ab + b2)
(a + b)3 = a3 + b3 3ab(a + b)
(a - b)3 = a3 - b3 3ab(-a + b)
(a + b)n = C0nan + C1nan - 1b + ... + Cn - 1nabn - 1 + Cnnbn

Теперь о модулях.


Запись |x| = a, a ≥ 0 означает, что
x = a, если x ≥ 0
х = -а если x < 0
Модуль обладает следующими свойствами:

  1. |x| ≥ 0
  2. |x| = |-a|;
  3. |xy| = |x| * |y|;
  4. |x/y| = |x|/|y|, y ≠ 0
  5. sqrt(x2) = |x|
  6. |x|2 = x2
  7. |x| ≥ x
  8. |x| = x <=> x ≥ 0

 

Теперь об уравнениях.


Пусть дано уравнение вида |f(x)| = g(x). Тогда оно равносильно либо совокупности двух систем:

[ { f(x) ≥ 0
[ { f(x) = g(x)
[
[ { f(x) < 0
[ { f(x) = -g(x)

Либо системе:

{ g(x) ≥ 0
{ [ f(x) = g(x)
{ [ f(x) = -g(x)

В зависимости, что проще f(x) или g(x). Если дано уравнение вида |f(x)| = |g(x)|, то оно равносильно совокупности:


[ f(x)| = -g(x)
[ f(x)| = g(x)

К неравенствам.



Неравенство |f(x)| ≥ g(x), равносильно совокупности двух неравенств:

{ f(x) ≥ g(x)
[ f(x) ≤ g(x)

Неравенство |f(x)| ≤ g(x), равносильно системе двух неравенств:

{ f(x) ≥ g(x)
{ f(x) ≤ g(x)

Иррациональные уравнения.



Если дано уравнение вида sqrt(f(x)) = g(x), то оно равносильно системе:

{ f(x) = g2(x);
{ g(x) ≥ 0;

Если дано уравнение вида sqrt(f(x)) = sqrt(g(x)),то оно равносильно системе:

{ f(x) = g(x);
{[ g(x) ≥ 0;
{[ f(x) ≥ 0;

Иррациональные неравенства.



Если дано неравенство вида 2n√(f(x)) < g(x),то оно равносильно системе

{ g(x) > 0;
{ f(x) ≥ 0;
{ f(x) < g2n(x);

Если дано неравенство вида 2n√(f(x)) > g(x),то оно равносильно совокупности двух систем

[ { g(x) ≤ 0;
[ { f(x) ≥ 0;
[
[ { g(x) ≥ 0;
[ { f(x) > g2n(x);

Всё ясно? Тогда решите задачи. Иначе напишите чего непонятно email

 

  1. 6x3 - 11x2 - 3x + 2 = 0
  2. (4x + 5)2(2x + 3)(x + 1) = 9
  3. (x3 - 8 + 6x(2 - x))/(|3 - 4x|) ≤ sqrt(4x - 3)
  4. sqrt(3 - x2) = |x| + 1
  5. { 5x + xy + 5y = 10 + 7sqrt(3)
    { x2 + y2 = 7





Ответы



Вернуться назад